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F'(x)=f(x)=xp ラジオ第2放送 毎週 水曜日・木曜日 午後7:50〜8:10 \(S'(t)\) です。また,\(t \leqq c \leqq t + h\) ですから \(h \to 0\) のとき \(c \to t\) となるので,右辺の極限は \(f(t)\) となって, \(f(x)\) の原始関数の1つを \(F(x)\) とすると \[S(x) = F(x) + C\] となりますが,\(S(a) = 0\) であることを考慮すると,積分定数は \(C = -F(a)\) であることが分かり,\[S(x) = F(x) - F(a)\]です。, 以上から,関数 \(y = f(x)\) が \(a \leqq x \leqq b\) において連続であり,\(f((x) \geqq 0\) を満たしているとき,2直線 \(x = a\),\(x = b\) と \(x\) 軸,\(y = f(x)\) のグラフで囲まれた図形の面積を \(S\) とすると \[\textcolor{red}{S} = S(b) = F(b) - F(a) = \textcolor{red}{\int_a^b f(x)\,dx}\] であることがが示されました。, 面積 \(\begin{array}{l} \displaystyle = \int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^2 = \frac{8}{3} \end{array}\), まず,\(y = -x^2 + x + 2 = 0\) とおいて,グラフと \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標を求めます。, \(\begin{array}{l} \displaystyle x^2 - x - 2 = 0 \\ \displaystyle (x + 1)(x - 2) = 0 \\ \displaystyle ∴\quad x = -1\ ,\ 2 \end{array}\), 面積 \(\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_{-1}^2 \left(-x^2 + x + 2\right)\,dx \\ \displaystyle = \left[-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x\right]_{-1}^2 \\ \displaystyle = \frac{9}{2} \end{array}\), 面積 \(\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_0^2 \left(x^2 + 1\right)\,dx \\ \displaystyle = \left[\frac{1}{3}x^3 + x\right]_0^2 \\ \displaystyle = \frac{8}{3} + 2 \\ \displaystyle = \frac{14}{3} \end{array}\), 面積 \(\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_{-1}^3 \left(x^2 + 2x + 3\right)\,dx \\ \displaystyle = \left[\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x\right]_{-1}^3 \\ \displaystyle = \Big(9 + 9 + 9\Big) \\ \displaystyle \hspace{3em} - \Big(-\frac{1}{3} 会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約及びプライバシーポリシーに同意したものとみなします。ご利用のメールサービスで @try-it.jp からのメールの受信を許可して下さい。詳しくはこちらをご覧ください。, 積分とは,簡単にいうと 「微分」の逆の計算 のことを言います。関数f(x)を積分した関数のことを∫f(x)dxで表し,記号∫はインテグラルと読みます。∫f(x)dx=F(x)とおくと, F'(x)=f(x) が成り立ちます。f(x)を積分するとF(x)となり,F(x)を微分するとf(x)になるのですね。, 特に,xの区間を定めないで積分することを,不定積分と言いました。ここまでは数学Ⅱで学習した内容の復習です。, では,負の数や分数も含む実数をp (p≠-1)とするとき,xpの不定積分について考えてみましょう。f(x)=xpを不定積分した関数をF(x)とおくと,F(x)を微分するとf(x)になるので, 不定積分と定積分の違いについて。高校生の苦手解決Q&Aは、あなたの勉強に関する苦手・疑問・質問を、進研ゼミ高校講座のアドバイザー達がQ&A形式で解決するサイトです。【ベネッセ進研ゼミ高校講 … Try IT(トライイット)のx^pの不定積分(p≠-1)の映像授業ページです。Try IT(トライイット)は、実力派講師陣による永久0円の映像授業サービスです。更に、スマホを振る(トライイットする)ことにより「わからない」をなくすことが出来ます。 t \leqq c \leqq t + h\], \[\begin{eqnarray} &\quad & \frac{S(t + h) - S(t)}{h} = f(c) \\[2px] ∴&& \lim_{h \to 0} \frac{S(t + h) - S(t)}{h} = \lim_{h \to 0} f(c) \\[2px] \end{eqnarray}\], \[\textcolor{red}{S} = S(b) = F(b) - F(a) = \textcolor{red}{\int_a^b f(x)\,dx}\], \(\begin{array}{l} \displaystyle = \int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^2 = \frac{8}{3} \end{array}\), \(\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_{-1}^2 \left(-x^2 + x + 2\right)\,dx \\ \displaystyle = \left[-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x\right]_{-1}^2 \\ \displaystyle = \frac{9}{2} \end{array}\), \(\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_0^2 \left(x^2 + 1\right)\,dx \\ \displaystyle = \left[\frac{1}{3}x^3 + x\right]_0^2 \\ \displaystyle = \frac{8}{3} + 2 \\ \displaystyle = \frac{14}{3} \end{array}\), \(\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_{-1}^3 \left(x^2 + 2x + 3\right)\,dx \\ \displaystyle = \left[\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x\right]_{-1}^3 \\ \displaystyle = \Big(9 + 9 + 9\Big) \\ \displaystyle \hspace{3em} - \Big(-\frac{1}{3} 不定積分と定積分は,きちんと区別して,どちらも求められるようにしておきましょう。, それでは,これで回答を終わります。 sin(3x-x)=sin3xcosx-cos3xsinx……② = \left\{\Big(\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2\Big) - \Big(4 - 6 - 4\Big)\right\} \\ \displaystyle = \frac{27}{4} \end{array}\). = \left\{\Big(\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2\Big) - \Big(4 - 6 - 4\Big)\right\} \\ \displaystyle = \frac{27}{4} \end{array}\), \(\displaystyle s = \int_a^b \left\{f(x) - g(x)\right\}\,dx\), \[S(t + h) - S(t) = f(c)\cdot h\quad ,\quad sin3xcosxを和の式に分解することができました。, sin3xcosx=(1/2)(sin4x+sin2x) より,求める不定積分は, ∫(1/2)(sin4x+sin2x)dx です。sin4xとsin2xを積分すると,それぞれ-(1/4)cos4x,-(1/2)cos2xになりますね。, 会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。ご利用のメールサービスで @try-it.jp からのメールの受信を許可して下さい。詳しくはこちらをご覧ください。. \hspace{5em} - \Big(9 - 9 - 9\Big) \\ \displaystyle = \frac{32}{3} \end{array}\), \(\displaystyle f(x) = \frac{3}{4}x^2 - 1\), \[h(x) = f(x) + 2 = \frac{3}{4}x^2 + 1\ ,\quad i(x) = g(x) + 2 = x^2\], \[\begin{eqnarray} S &=& \int_{-2}^2 h(x)\,dx - \int_{-2}^{2} i(x)\,dx \\ &=& \int_{-2}^2 \left\{h(x) - i(x)\right\}\,dx \\ &=& \int_{-2}^2 \big[\left\{f(x) + 2\right\} - \left\{g(x) +

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